Strona główna / Popularnonaukowe / Dlaczego prawda jest piękna. O symetrii w matematyce i fizyce

Aktualności

28.06.2022

Spotkanie z Zuzanną Gajewską w Elblągu

W poniedziałek 4 lipca o godz. 18:00 zapraszamy do Biblioteki Elbląskiej (Świętego Ducha 3-7, Elbląg) na spotkanie z Zuzanną Gajewską, autorką książki "Burza".

Wywiady

25.08.2021

"Tajemnica Wzgórza Trzech Dębów". Wywiad z Piotrem Borlikiem

Zapraszamy do przeczytania wyjątkowego wywiadu z Piotrem Borlikiem. Z autorem książki "Tajemnica Wzgórza Trzech Dębów" rozmawiał Marcin Waincetel z Lubimyczytac.pl.

Posłuchaj i zobacz

26.06.2022

Rozmowa z Beatą Sabałą-Zielińską

Nowy odcinek naszego podcastu to rozmowa Justyny Dżbik-Kluge z Beatą Sabałą-Zielińską, autorką książki "TOPR. Tatrzańska przygoda Zosi i Franka".

Bestsellery

TOP 20

  1. Arabska zdrajczyni Tanya Valko
  2. Viktoria. Miłość zza żelaznej kurtyny Wioletta Sawicka
  3. A koń w galopie nie śpiewa Artur Andrus, Wojciech Zimiński

Dlaczego prawda jest piękna. O symetrii w matematyce i fizyce

Ian Stewart

Przedmowa

Trzynasty marca 1832 r. W porannej mgle dwóch młodych Francuzów, stojąc naprzeciw siebie z wyciągniętymi pistoletami, ma zamiar pojedynkować się o młodą kobietę. Pada strzał, jeden z nich śmiertelnie raniony pada na ziemię. Dwa tygodnie później w wieku 21 lat umiera na skutek zapalenia otrzewnej i zostaje pochowany w nieoznakowanym grobie. Wraz z nim umiera jedna z najważniejszych idei w matematyce.
Ten, który przeżył, do dziś pozostaje nieznany. Ten zabity nazywał się Évariste Galois i był politykiem-rewolucjonistą oraz zapalonym matematykiem. Jego prace zebrane zajmują zaledwie sześćdziesiąt stron, ale zrewolucjonizowały matematykę. Galois stworzył język pozwalający opisać symetrię struktur matematycznych oraz ich konsekwencje.
Ten język, znany jako teoria grup, wykorzystuje dziś matematyka czysta i stosowana do opisu powstawania wzorców struktury w naturze. Symetria odgrywa także kluczową rolę w kwantowym świecie rzeczy bardzo małych i relatywistycznym świecie rzeczy bardzo dużych. Może się przyczynić do powstania długo poszukiwanej „teorii wszystkiego”, matematycznej unifikacji tych dwóch gałęzi współczesnej fizyki. Wszystko to zapoczątkowało proste pytanie dotyczące rozwiązań równań matematycznych – poszukiwania w algebrze „nieznanej” liczby na podstawie kilku matematycznych wskazówek.
Symetria nie jest liczbą albo kształtem, lecz specjalnym rodzajem transformacji – sposobem poruszania obiektu. Jeśli po dokonaniu transformacji obiekt wygląda identycznie, to taka transformacja jest symetrią. Na przykład kwadrat wygląda tak samo, jeśli jest obrócony o kąt prosty.
Ta idea, znacznie rozszerzona i rozbudowana, jest dzisiaj podstawowym narzędziem służącym do badania Wszechświata i jego początków. Podstawą teorii względności Alberta Einsteina była zasada mówiąca, że prawa fizyki muszą być takie same we wszystkich miejscach i wszystkich momentach czasu. Znaczy to, że prawa powinny być symetryczne ze względu na ruch w przestrzeni i upływ czasu. Fizyka kwantowa twierdzi, że wszystko we Wszechświecie jest zbudowane z bardzo małych cząstek elementarnych. Zachowanie tych cząstek jest opisywane matematycznymi równaniami – prawami natury – a prawa te mają symetrię. Za pomocą takich równań cząstki mogą być transformowane w zupełnie inne cząstki, przy czym transformacje nie powodują zmiany praw fizyki.
Takie koncepcje, a także inne obowiązujące we współczesnej fizyce, nie mogłyby zostać stworzone bez dogłębnej matematycznej analizy symetrii. Analiza ta, dokonana na gruncie matematyki abstrakcyjnej, miała wpływ na fizykę w okresie znacznie późniejszym. Niezwykle użyteczne idee mogą powstawać w wyniku czysto abstrakcyjnych rozważań, co Eugene Wigner określił jako „nieprawdopodobną skuteczność matematyki w naukach przyrodniczych”. Dzięki matematyce zysk znacznie przekracza koszty.
Książka ta, rozpoczynająca się historią starożytnych skrybów babilońskich i kończąca opowieścią o fizykach XXI w., przedstawia zmagania matematyków z koncepcją symetrii oraz pokazuje, jak bezcelowe z pozoru poszukiwanie nieistniejącego wzoru przyczyniło się do odkrycia nowego okna na Wszechświat i zrewolucjonizowało naukę. Jest to opowieść o symetrii, ilustrująca, jak wstrząsy polityczne i naukowe mogą wzmacniać oddziaływanie kultury i historyczną ciągłość wielkich idei.
*
Rzut oka na pierwszą część książki może prowadzić do wniosku, że nie ma ona nic wspólnego z symetrią i niewiele wspólnego ze światem przyrody. Powód jest prosty – nie geometrii, jak można by oczekiwać, symetria zawdzięcza, że stała się dominującą ideą. Koncepcja symetrii, piękna i niezbędna dla dzisiejszej matematyki i fizyki, pojawiła się dzięki algebrze. Dlatego duża część książki jest poświęcona opisowi poszukiwań rozwiązań równań algebraicznych. Czytelnik może odnieść wrażenie, że zagłębiamy się w technikę rachunkową, ale poszukiwania te są fascynujące, życie wielu głównych postaci było bowiem niezwykłe i pełne dramatyzmu. Matematycy są ludźmi, choć często pochłaniają ich abstrakcyjne rozważania. Niektórzy oddali logice władzę nad swym życiem, ale przekonamy się nieraz, że nasi bohaterowie mieli także bardzo ludzkie cechy. Dowiemy się, jak żyli i umierali, poznamy ich romanse i pojedynki, gwałtowne spory, skandale seksualne, pijaństwo, choroby i w końcu zobaczymy, jak ich matematyczne idee zmieniają świat i przyczyniają się do kolejnych odkryć!
Opowieść, rozpoczynająca się dziesięć wieków przed naszą erą, punkt kulminacyjny osiąga w czasach Galois, na początku XIX w. Poznajemy krok po kroku rozwój metod rozwiązywania równań, metod, które przestały być skuteczne, gdy matematycy spróbowali rozwiązać równanie piątego stopnia, czyli takie, w którym niewiadoma jest podniesiona do potęgi piątej. Czy ich sposoby zawiodły dlatego, że równanie stopnia piątego fundamentalnie różni się od innych równań? Może istnieją skuteczniejsze metody, które pozwalałyby wyprowadzić wzory stanowiące rozwiązanie równania? Czy matematycy natknęli się na poważną przeszkodę, czy tylko brak zdolności ogranicza ich możliwości przełamania impasu?
Rozwiązania równania piątego stopnia istnieją. Pytanie tylko, czy można je wyrazić za pomocą wzorów algebraicznych. W 1812 r. młody Norweg, Niels Henrik Abel, udowodnił, że równanie piątego stopnia nie może być rozwiązane metodami algebraicznymi. Jednak jego dowód był cokolwiek zagadkowy i niebezpośredni. Wskazywał na to, że nie istnieje ogólne rozwiązanie, ale nie wyjaśniał dlaczego.
Dopiero Galois odkrył, że nierozwiązywalność równania piątego stopnia wynika z jego symetrii. Jeśli symetrie te spełniają wymóg Galois – to znaczy pasują do siebie w pewien sposób, którego jeszcze teraz nie wyjaśnię – rozwiązanie równania może być wyrażone wzorem algebraicznym. Jeśli nie spełniają wymogu Galois, to nie istnieje rozwiązanie wyrażone takim wzorem.
Ogólnie rzecz biorąc, równanie piątego stopnia nie może być wyrażone wzorem algebraicznym, ponieważ cechuje je zły rodzaj symetrii.
*
Odkrycie to stanowi następny temat książki, którym jest grupa – jako matematyczny „rachunek symetrii”. Galois odkrył na nowo starożytną metodę matematyczną, algebrę, jako narzędzie badania symetrii.
W tej chwili słowo „grupa” pozostaje niezrozumiałym pojęciem istniejącym w żargonie matematycznym. Wyjaśnię znaczenie tego określenia, gdy stanie się ono konieczne do zrozumienia książki. Czasami dla śledzenia treści niezbędny jest odpowiedni termin. Jeśli napotykamy wyraz mający cechy żargonu, który nie został natychmiast wyjaśniony, to spełnia on funkcję pożytecznej etykietki o niezbyt istotnym znaczeniu. Niekiedy znaczenie to pojawia się samoistnie w trakcie czytania. Pojęcie „grupy” jest przykładem takiego zjawiska, nie wyjaśnimy go aż do połowy książki.
Nasza opowieść porusza także problem osobliwego znaczenia pewnych liczb w matematyce. Nie mam tu na myśli podstawowych stałych fizyki, ale stałe matematyczne, jak π (grecka litera pi). Prędkość światła na przykład może być w zasadzie jakakolwiek, ale tak się zdarzyło w naszym Wszechświecie, że wynosi 299 792,5 km na sekundę. Z kolei π jest troszkę większe od 3,14159 i nic na świecie nie może tego faktu zmienić.
Nierozwiązywalność równania piątego stopnia sugeruje nam, tak jak π, że liczba pięć jest również bardzo osobliwa. Związana z nią grupa symetrii nie spełnia wymogu Galois. Innym osobliwym przykładem jest ciąg liczb 1, 2, 4, 8. Matematycy odkryli wiele rozszerzeń koncepcji zwykłych liczb „rzeczywistych”, najpierw na liczby zespolone, a potem na obiekty zwane kwaternionami i oktonionami. Są one utworzone odpowiednio z dwóch liczb rzeczywistych, czterech liczb rzeczywistych i ośmiu liczb rzeczywistych. A co dalej? Naturalnym przypuszczeniem byłoby szesnaście liczb rzeczywistych, ale w istocie nie ma dalszych sensownych rozszerzeń klas zbiorów liczbowych. Ten fakt jest niezwykły i ważny. Mówi nam, że liczba 8 ma niezwykłe cechy, nie w jakimś powierzchownym sensie, lecz ze względu na jej związek z samą strukturą matematyki.
Oprócz roli liczb 5 i 8, książka ta ukazuje funkcję kilku innych liczb, a w szczególności 14, 52, 78, 133 i 248. Te osobliwe liczby to wymiary pięciu „wyjątkowych grup Liego”, które mają wpływ na całą matematykę i większość metod matematycznych stosowanych w fizyce. Są one głównymi postaciami matematycznego dramatu, podczas gdy inne liczby, na pozór niewiele różniące się od nich, są tylko zwykłymi pionkami w tej grze.
Dopiero pod koniec XIX w., wtedy, gdy powstała współczesna algebra, matematycy odkryli specjalną rolę tych liczb. Chodzi nie o nie same, ale o ich znaczenie dla podstaw algebry. Z każdą z nich skojarzony jest obiekt matematyczny zwany grupą Liego, mający wyjątkowe i niezwykłe własności. Grupy te odgrywają główną rolę we współczesnej fizyce i wygląda na to, że mają związek z fundamentalną strukturą przestrzeni, czasu i materii.
*
Zagadnienie to prowadzi nas do ostatniego tematu: fizyki zjawisk podstawowych. Fizycy przez długi czas zastanawiali się, dlaczego przestrzeń ma trzy wymiary, a czas tylko jeden – dlaczego żyjemy w czterowymiarowej czasoprzestrzeni. Teoria superstrun, najnowsza próba ujednolicenia całej fizyki do jednego spójnego zbioru praw, przyczyniła się do podjęcia przez fizyków rozważań dotyczących możliwości istnienia „ukrytych” wymiarów czasoprzestrzeni. Może to się wydawać śmiesznym pomysłem, ale ma dobre historyczne tradycje. Idea istnienia dodatkowych wymiarów wiąże się prawdopodobnie z tą własnością teorii superstrun, która budzi najmniej sprzeciwów.
Znacznie bardziej kontrowersyjne jest przekonanie, że u podstaw nowej teorii przestrzeni i czasu leżą matematyczne założenia teorii względności i teorii kwantów, dwóch filarów współczesnej fizyki. Unifikacja tych dwóch wzajemnie sprzecznych teorii uważana jest za ćwiczenie matematyczne, a nie proces wymagający nowych i rewolucyjnych eksperymentów. Oczekuje się, że matematyczne piękno będzie zasadniczym wymogiem fizycznej prawdy. To może być bardzo niebezpieczne założenie. Nie można tracić z pola widzenia świata fizycznego, jakakolwiek bowiem teoria powstająca w wyniku dzisiejszych rozważań nie uniknie jutro porównania z eksperymentem i obserwacjami, niezależnie od tego, jak mocne będą jej matematyczne podstawy.
Jednak obecnie istnieją wystarczające powody do przyjęcia matematycznego podejścia. Jednym z nich jest to, że nikt nie wie, jakie eksperymenty powinien przeprowadzić, dopóki nie sformułuje się naprawdę przekonującej teorii. Inny jest taki, że matematyczna symetria odgrywa podstawową rolę zarówno w teorii względności, jak i mechanice kwantowej, dwóch teoriach niemających wspólnych podstaw. Dlatego też powinniśmy tym bardziej cenić każdy bit informacji, który możemy dzięki niej uzyskać. Możliwe do wyobrażenia struktury przestrzeni, czasu i materii wyznaczane są za pomocą ich symetrii, a wielkie perspektywy w tym kontekście mają wyjątkowe struktury algebraiczne. Własności czasoprzestrzeni mogą wynikać z tego, że matematyka zezwala jedynie na bardzo krótką listę tych specjalnych form. Jeśli to prawda, warto zająć się matematyką.
Dlaczego Wszechświat jest tak bardzo matematyczny? Rozmaite są odpowiedzi na to pytanie, ale żadna z nich mnie nie przekonuje. Relacja symetryczna pomiędzy matematycznymi ideami a światem fizycznym, jak symetria pomiędzy naszym zmysłem piękna a najbardziej istotnymi matematycznymi strukturami, jest najgłębszą i być może nieodgadnioną tajemnicą. Nikt z nas nie może powiedzieć, dlaczego piękno jest prawdą, a prawda pięknem. Możemy jedynie zastanawiać się nad nieskończoną złożonością tego związku.