Strona główna / Popularnonaukowe / Stąd do nieskończoności. Przewodnik po krainie dzisiejszej matematyki

Aktualności

09.11.2021

Spotkanie online z Grażyną Jeromin-Gałuszką

We wtorek 9 listopada o godz. 20:00 zapraszamy na wirtualne spotkanie z Grażyną Jeromin-Gałuszką, autorką książki "Gdybyś wiedziała".

Wywiady

25.08.2021

"Tajemnica Wzgórza Trzech Dębów". Wywiad z Piotrem Borlikiem

Zapraszamy do przeczytania wyjątkowego wywiadu z Piotrem Borlikiem. Z autorem książki "Tajemnica Wzgórza Trzech Dębów" rozmawiał Marcin Waincetel z Lubimyczytac.pl.

Posłuchaj i zobacz

23.10.2021

Rozmowa z Kasią Bulicz-Kasprzak

Zapraszamy do wysłuchania podcastu z Kasią Bulicz-Kasprzak, autorką książki "Zielone pastwiska".

Bestsellery

TOP 20

  1. Billy Summers Stephen King
  2. Red, White & Royal Blue Casey McQuiston
  3. Dubaj krwią zbudowany Marcin Margielewski

Stąd do nieskończoności. Przewodnik po krainie dzisiejszej matematyki

Ian Stewart

Przedmowa

Co to jest matematyka? Do czego służy? Czym obecnie zajmują się matematycy? Czy to wszystko nie skończyło się dawno temu? Jak wiele nowych liczb da się w ogóle wynaleźć? Czy dzisiejsza matematyka to tylko kwestia olbrzymich obliczeń, a matematycy są kimś w rodzaju opiekunów w ZOO, baczących, by drogocenne komputery były nakarmione i napojone? A jeśli nie, to czym się różni od niezrozumiałych wynurzeń potężnych mózgowców z głowami w obłokach i nogami dyndającymi z balkonów wyniosłych wież z kości słoniowej?
Matematyka jest tym wszystkim i niczym z tego. Przeważnie jest po prostu różna. Nie jest tym, czego oczekujecie. Nawet jeżeli wygląda tak, jak tego się spodziewacie, to gdy na chwilę się odwrócicie, ona już się zmieniła. Z pewnością nie jest to zamknięty korpus wiedzy, jej rozwój nie ogranicza się do wynajdywania nowych liczb, a jej ukryte macki przenikają wszystkie dziedziny współczesnego życia.
Doprawdy, matematyka zmienia się niezwykle szybko. Można to stwierdzić, choćby śledząc losy tej książki, która po raz pierwszy ukazała się w 1987 roku pod tytułem The Problems of Mathematics. Kilka zasadniczych odkryć spowodowało, że już w 1992 roku konieczne było drugie wydanie. Tytuł pozostał, ale okładka stała się bardziej krzykliwa, z fantazyjną grafiką komputerową w miejsce rysunku przedstawiającego kolorowe szpilki. Teraz niezbędne stało się trzecie wydanie: tytuł jest bardziej przyjazny i na co innego pada nacisk. Nowy tytuł, nawiasem mówiąc, ma podkreślić, że matematyka łączy wpływ na codzienne życie („stąd”) z szeroko zakrojoną twórczością intelektualną („nieskończoność”). Nowe ujęcie skupia się bardziej na odpływach i przypływach matematyki, a mniej na poszczególnych problemach.
Wiele zdarzyło przez tych osiem lat. Najbardziej spektakularnym wydarzeniem był dowód wielkiego twierdzenia Fermata ogłoszony przez Andrew Wilesa w 1993 roku, i niedomknięty aż do roku 1995, a po drodze pojawiło się kilka zapierających dech w piersiach usterek. Chaos i fraktale wyszły z opłotków i rozmazały się po całej nauce, jak dżem na buzi dziecka. Kilku zacofanych naukowców, którzy utrzymywali, że chaos jest jedynie wynikiem błędów komputerowych i nie istnieje naprawdę, oberwało w twarz intelektualnym odpowiednikiem jajka. Cóż, teoria chaosu okazała się przereklamowana, co do tego nie ma wątpliwości – jednak stało się tak dlatego, że była ważna. W klasycznym pojmowaniu węzłów dokonał się niespodziewany „skok w bok”, nowe pojęcia szybko dojrzały i rozpleniły się jak grzyby po deszczu, wkraczając do biochemii DNA i zderzeń cząstek kwantowych, reprezentowanych w diagramach Feynmana. Obszary te dostarczyły z kolei nowych pomysłów do teorii węzłów, i ten taniec wciąż trwa, kołując i wirując w matematycznym pejzażu. Dokonano kwadratury koła, dosłownie, rozcinając je na 1050 części i składając je w kwadrat tak, że ani jeden punkt nie został pominięty. Kot Schrödingera okazał się mimo wszystko żywy i puścił farbę, rewolucjonizując kryptografię. Pewien matematyk wskazał sposób konstruowania trylionów „liczb Carmichaela”, a trzej inni zaraz go przebili, używając tej samej metody do udowodnienia, że jest ich nieskończenie wiele. Te i wiele innych podobnych historii znajdziecie na kartach tej książki.
Postęp nie zawsze oznacza ruch do przodu; matematyka musi czasami dokonać „strategicznego odwrotu na z góry upatrzone pozycje”. Dowód hipotezy Poincarégo, świętego Graala topologii, ogłoszono w pierwszym wydaniu tej książki i wycofano się z tego w drugim, gdy jeden z kluczowych kroków dowodu rozpadł się na kawałki. Być może wypłynie w czwartym wydaniu, trudno tu cokolwiek przewidywać1. W drugim wydaniu pojawił się cały nowy rozdział poświęcony rozwiązaniu problemu Keplera. W rozdziale tym podano dowód na to, że najefektywniejszą metodą układania stosu z kul jest ta, którą znają wszyscy sprzedawcy warzyw i owoców. W tym wydaniu go nie ma, ponieważ proponowany dowód stał się wyraźnie kontrowersyjny. Nie tyle upadł, ile skrył się za nieprzeniknionym woalem mgły. Chociaż w matematyce prawdy są znacznie czyściej i precyzyjniej sformułowane, niż w jakiejkolwiek innej dziedzinie nauki, kontrowersje ciągle mogą mącić ich wody. Jedna z wciąż trwających, długich debat ogniskuje się wokół tak zwanej „eksperymentalnej matematyki”, która podkreśla rolę komputerów we wskazywaniu nowych prawd. Nie byłoby to tak bardzo kontrowersyjne, gdyby nie fakt, że niektórzy traktują to jako deprecjonowanie tradycyjnego pojęcia dowodu (Naprawdę tak nie jest, okej?). Mamy więc teraz metakontrowersję, czy początkowy spór był czy nie był skierowany przeciw zastępczemu celowi. Mocne, co? Z pewnością spowoduje, że przemyślicie swoje uprzedzenia. Niektórzy matematycy nie lubią kontrowersji, ale służą one do przypomnienia nam, że matematyka jest tworzona przez ludzi, którym na niej zależy, i sądzę, iż to ważne przesłanie.
Jedną z charakterystycznych cech nauki końca dwudziestego wieku jest zanik tradycyjnych granic między działami. To samo dotyczy matematyki. Nie ma już sensu obciosywać tematu, by pasował do algebry, rachunku różniczkowego, geometrii i tak dalej. Każdy obszar nauki rzutuje na inne obszary. Wiele działów badań matematycznych wzbogacają aktywne i bezpośrednie kontakty z naukami stosowanymi. Często najbardziej interesującymi obszarami są nie te, w których matematyka była tradycyjnie wykorzystywana. Najbardziej zaś interesujące zastosowania czerpią z matematyki, która nie bywała uważana za użyteczną.
Natrafiłem na to w małej skali w swoich własnych badaniach. Po pierwsze, z prawdziwą trudnością odpowiadam na pytanie: „Na jakim polu pan pracuje?”. Pracuję na wielu polach i na żadnym, więc albo mamroczę coś niejasnego o „nieliniowej dynamice”, albo aplikuję pytającemu dwudziestominutowy skrócony wykład. Po drugie, moje własne wytwory stale powracają i mnie gryzą. Kilka lat temu z przyjacielem fizjologiem napisaliśmy bardzo „raczkującą” pracę o tym, jak stosować teorię grup do klasyfikacji wzorców ruchu zwierząt. Kilka tygodni temu dowiedziałem się, że inżynierowie używali naszych pomysłów do budowy spacerującego robota i sterowania nim. Cztery lata temu zatelefonował do mnie inżynier z zakładu przemysłowego z pytaniem dotyczącym chaosu; dziś mamy wspólne zgłoszenie patentowe dla maszyny, która wykonuje analizy związane z kontrolą jakości w przemyśle wytwarzającym sprężyny.
To jest właśnie mój osobisty mikrokosmos na tle coraz bardziej rozszerzającego się zasięgu nauki. Z tej perspektywy widać, jak postrzegam matematykę i jej rolę. Częściowo z tego powodu wybór tematów w tej książce jest dość specyficzny. W żadnym razie nie jest to wyczerpujące studium całości dzisiejszych nauk matematycznych; to jedynie subiektywny obraz pewnych fragmentów, które przyciągnęły moją uwagę. Jestem jednak przekonany, że da się uzasadnić te wybory większą wagą omawianych spraw. Żyjemy w świecie, który jest coraz bardziej matematyczny. Matematykę niekiedy uważa się za sztukę, ale sądzę, że szlaki myśli matematycznej leżą znacznie bliżej nauki. Matematyka jest jednym z kamieni węgielnych naukowej eksploracji, a nauka i jej techniczne dziedzictwo oddziałują na każdego z nas bardziej, niż zdajemy sobie sprawę. Dlatego warto rozumieć, jakimi rodzajami spraw zajmują się matematycy; a mój wybór, choćby i specyficzny, jest z pewnością sensowną próbką.
Celem Stąd do nieskończoności jest jak najlepsze naświetlenie kwestii poruszonych na początku tej przedmowy – czym jest matematyka, do czego służy, jak matematycy tworzą nową matematykę i dlaczego ich zadanie nie zostało zakończone już dawno temu. A przynajmniej gwarantuję, że po przeczytaniu tej książki nie będziecie myśleli, że badania matematyczne polegają na wymyślaniu nowych liczb.
Chociaż niekiedy, oczywiście…

I.N.S.
Coventry 1995

Rozdział 1. O naturze matematyki

Zmniejszyłam się razy trzy, do jednej trzeciej, jedną piątą mnie dodano do mnie; z powrotem byłam całością. Jaka wielkość to mówi?
Ahmose, skryba – Papirus Rhinda


Jak wyjaśnić osobom postronnym, co to jest matematyka? To jedno z najtrudniejszych zadań. W matematyce mamy techniczne pułapki, trudną symbolikę i formalizację, zbijającą z tropu terminologię oraz wyraźne zamiłowanie do długawych wyliczeń: to wszystko prowadzi do zaciemnienia jej prawdziwej natury. Muzyk byłby przerażony, gdyby jego sztuka została podsumowana jako „stado kijanek nadzianych na rzędy linii”. Ale to jest wszystko, co niewprawne oko potrafi zobaczyć w partyturze. Wielkość, męka, porywy liryczne i dysonanse rozpaczy: rozpoznanie ich wśród kijanek nie jest łatwe. One są obecne, ale w zakodowanej postaci. W podobny sposób symbolika matematyczna jest tylko kodem, a nie jej istotą. Ona też ma swoją wielkość, męki i porywy liryczne. Jest jednak różnica. Nawet przygodny słuchacz utworu muzycznego potrafi czerpać przyjemność ze słuchania. Tylko wykonawcy powinni rozumieć błazeństwa kijanek. Muzyka dociera do niemal każdego. Jednak rzeczą, która najbardziej przypominałaby matematyczny spektakl, są renesansowe turnieje, w których czołowi matematycy publicznie zmagaliby się z wzajemnie stawianymi sobie zadaniami. Może warto byłoby ten pomysł przywrócić; jednak doznania z tym związane bardziej przypominałyby te towarzyszące zapasom niż muzyce.
Muzyka może być doceniana z różnych punktów widzenia: słuchacza, wykonawcy, kompozytora. W matematyce nie ma odpowiednika słuchacza: gdyby nawet był, to interesowałby go kompozytor, a nie wykonawca. Interesujące jest tworzenie nowej matematyki, a nie przyziemna praktyka. W matematyce nie chodzi o symbole czy obliczenia. Są one jedynie narzędziami profesji – jak ósemki, ćwierćnuty i palcówki. Matematyka dotyczy pojęć. W szczególności sposobu, w jaki różne pojęcia są ze sobą powiązane. Jeśli znana jest jakaś informacja, to jakie są jej nieuniknione następstwa? Celem matematyki jest zrozumienie takich kwestii przez odarcie ich z nieistotnych szczegółów i dotarcie do sedna problemu. To nie jest tylko sprawa uzyskania poprawnej odpowiedzi; bardziej liczy się zro-zumienie, dlaczego odpowiedź jest w ogóle możliwa i dlaczego przyjmuje otrzymaną postać. Dobra matematyka ma cechę zwięzłości i zawiera niespodzianki. Jednakże, ponad wszystko, ma swoje znaczenie.
Surowce
Przypuszczam, że stereotypem matematyka jest poważny okularnik studiujący niekończące się arytmetyczne elaboraty. Coś w rodzaju superksięgowego. Obraz ten z pewnością zainspirował wybitnego przedstawiciela nauk komputerowych do poczynienia uwagi w trakcie ważnego wykładu: „Wszystko, co można zrobić w matematyce za pomocą papieru i ołówka, zostało już zrobione”. Mylił się całkowicie, podobnie jak fałszywy jest przedstawiony wyżej obraz. Wśród moich kolegów mam entuzjastę paralotni, wysokiej klasy wspinacza, małorolnego chłopa, który przed śniadaniem potrafi rozłożyć traktor na części, poetę i autora opowiadań kryminalnych. I żaden z nich nie jest specjalnie dobry w rachunkach.
Jak już powiedziałem, matematyka nie dotyczy głównie obliczeń, lecz pojęć. Pewnego razu ktoś sformułował twierdzenie odnoszące się do liczb pierwszych i utrzymywał, że nie da się go udowodnić, ponieważ brak dobrej notacji dla takich liczb. Carl Friedrich Gauss udowodnił je z marszu, w pięć minut, mówiąc (nieco cierpko), że to, czego potrzebuje, to pojęcia, a nie notacje . Obliczenia są jedynie środkiem do osiągnięcia celu. Jeżeli twierdzenie jest dowodzone na drodze monstrualnych obliczeń, to wynik nie jest właściwie rozumiany, dopóki nie wyodrębni się przyczyn tego, że obliczenia są poprawne, i nie przekona o tym, że są one naturalne i nieuniknione. Nie wszystkie pomysły są matematyką; jednakże dobra matematyka musi zawierać pomysł.
Pitagoras, wraz ze swoją szkołą, wyróżnił cztery działy matematyki:

Matematyka:

Dyskretna: Absolutna, Arytmetyka
Dyskretna: Względna, Muzyka

Ciągła: Statyczna, Geometria
Ciągła: Dynamiczna, Astronomia

Trzy z nich pozostają głównymi źródłami matematycznej inspiracji. Czwarty, muzyka, nie ma już takiego znaczenia, ale można go reinterpretować jako podejście algebraiczne lub kombinatoryczne. (Ciągle obecne jest przekonanie o muzycznych talentach matematyków). Do tych czterech działów nowoczesna matematyka dodała piąty: Panią Fortunę. Mamy więc co najmniej pięć różnych źródeł pomysłów matematycznych: liczbę, kształt, rozmieszczenie, ruch i szansę.
Najbardziej podstawowa i najlepiej znana jest liczba. Pojęcie liczby musiało się wywodzić z procesu zliczania: majątków, dni lub wrogów. Mierzenie długości i ważenie ciężarów doprowadziło do ułamków, a następnie liczb „rzeczywistych”. Przełomowym dziełem matematycznej wyobraźni było stworzenie liczb „urojonych”, takich jak √-1. Od tej chwili matematyka radykalnie się zmieniła. Kształt lub forma prowadzą do geometrii: nie tylko tej stereotypowej i pedantycznej, za którą odpowiedzialność ponosi Euklides, ale także jej nowoczesnych potomków, takich jak topologia, teoria osobliwości, grupy Liego i teoria pól cechowania. Nowe formy geometryczne – fraktale, katastrofy, wiązki włókniste, dziwne atraktory – ciągle inspirują nowe dokonania w matematyce. Problemy dotyczące roz-mieszczania obiektów według rozmaitych reguł prowadzą do kombinatoryki, części nowoczesnej algebry i teorii liczb oraz tego, co staje się znane jako „matematyka skończona”, będąca podstawą znacznej części informatyki. Ruch – kul armatnich, planet czy fal – był inspiracją dla rachunku różniczkowego, teorii zwyczajnych i cząstkowych równań różniczkowych, rachunku wariacyjnego i topologicznej dynamiki. Wiele znaczących obszarów badań matematycznych jest związanych ze sposobem, w jaki systemy ewoluują w czasie. Nowszym składnikiem jest losowość, szansa. Dopiero w ostatnich stuleciach zdano sobie sprawę, że przypadkiem rządzą też konkretne wzorce wykazujące regularność. Dopiero w ostatnim półwieczu udało się powyższe zdanie doprecyzować. Prawdopodobieństwa i statystyka były oczywistymi następstwami; mniej znana, lecz równie ważna, jest teoria stochastycznych równań różniczkowych – umożliwiająca badanie dynamiki układu, na który działają losowe zakłócenia. (…) 

1 Rzeczywiście był dalszy ciąg, zob. rozdział 9.

2 Notions, not notations (ang.) (Wszystkie przypisy tłumacza, cytaty użyte przez Autora w przekładzie tłumacza – jeżeli nie zaznaczono inaczej).