Strona główna / Popularnonaukowe / Matematyka niepewności. Jak przypadki wpływają na nasz los

Aktualności

18.09.2019

Spotkanie z Katarzyną Puzyńską w Warszawie

W czwartek 10 października o godz. 18.00 zapraszamy do Empiku w Warszawie (ul. Marszałkowska 116/122) na przedpremierowe spotkanie z Katarzyną Puzyńską, autorką książki "Pokrzyk".

Wywiady

11.07.2019

"Mówimy o trylogii, na którą należy patrzeć całościowo"

Zapraszamy do przeczytania wywiadu z Piotrem Borlikiem, autorem książek "Boska proporcja", "Materiał ludzki" i "Białe kłamstwa".

Posłuchaj i zobacz

24.07.2019

Narodziny faszyzmu oczami zwykłych ludzi

Zapraszamy do obejrzenia nagrania zapowiadającego książkę "Wakacje w Trzeciej Rzeszy. Narodziny faszyzmu oczami zwykłych ludzi" Julii  Boyd.

Bestsellery

TOP 20

  1. Jej drugie życie Manula Kalicka
  2. Nie mam więcej pytań Gillian McAllister
  3. Wakacje w Trzeciej Rzeszy. Narodziny faszyzmu oczami zwykłych ludzi Julia Boyd

Fotogaleria

więcej »

Matematyka niepewności. Jak przypadki wpływają na nasz los

Leonard Mlodinow

Rozdział 7.

POMIAR I PRAWO BŁĘDÓW
O znaczeniu i braku znaczenia wyników pomiaru. Krzywa Gaussa i oceny degustatorów win, sondaże przedwyborcze, szkolne stopnie oraz położenie planet


Niedawno temu mój syn Aleksy wrócił któregoś dnia ze szkoły i obwieścił, ile punktów dostał za ostatnie wypracowanie z angielskiego. Otóż dostał 93. W normalnych okolicznościach pogratulowałbym mu piątki. Ponieważ zaś 93 to dolny rejestr piątek, a ja wiem, że Aleksego stać na więcej, dorzuciłbym pewnie, że ów stopień świadczy o tym, że gdyby następnym razem postarał się bardziej, wówczas uzyskałby jeszcze lepszy wynik. Okoliczności jednak nie były normalne, ja zaś w tym przypadku uznałem, że ocena 93 jest szokująco zaniżona, biorąc pod uwagę jakość wypracowania. Myślicie sobie pewnie, czytając te słowa, że ostatnich kilka zdań więcej mówi o mnie niż o Aleksym. Jeśli tak, jesteście na właściwym tropie. W istocie cały epizod dotyczy wyłącznie mnie, bo to ja napisałem wypracowanie Aleksego.
No dobrze, jest mi wstyd. Na swoją obronę powiem, że normalnie chętniej bym przyjął za syna kopniaka w podbródek na jego zajęciach z kung-fu, niż pisał za niego wypracowanie. Aleksy przyszedł jednak do mnie z prośbą o konstruktywną krytykę tekstu, który sam napisał, i – jak zwykle – zrobił to późnym wieczorem w przeddzień terminu oddania pracy. Powiedziałem mu, że za chwilę do niego przyjdę. Zacząłem czytać tekst na komputerze i najpierw zrobiłem kilka drobnych poprawek, nic godnego uwagi. Potem zaś, ponieważ mam zwyczaj niestrudzenie wszystko przerabiać i poprawiać, praca stopniowo mnie wciągnęła: tu zmiana szyku, tu zdanie napisane od nowa... Zanim skończyłem, nie tylko Aleksy zasnął, ale i wypracowanie stało się moim dziełem. Następnego ranka, przyznając z zażenowaniem, że niestety zapomniałem posłużyć się opcją „zapisz jako...” i pracowałem z jego oryginalnym plikiem, powiedziałem mu, żeby się nie martwił i po prostu oddał moją wersję.
Pokazując mi poprawione wypracowanie, Aleksy dorzucił kilka słów na pociechę. „Całkiem nieźle – powiedział – 93 to właściwie raczej piątka z minusem niż mocna piątka, ale było późno i jestem pewien, że jakbyś nie był zmęczony, to wynik byłby lepszy”. Nie byłem zadowolony. Po pierwsze, nieprzyjemnie jest słyszeć od piętnastolatka dokładnie te same zdania, które mówiło się wcześniej do niego i które w jego ustach brzmią, przyznajmy, dość niedorzecznie. A poza tym, jak to możliwe, żeby moja praca – praca kogoś, kogo co najmniej matka uważa za zawodowego pisarza – nie zasługiwała na piątkę z angielskiego w szkole średniej? Najwyraźniej nie jestem osamotniony. Słyszałem później o innym pisarzu, któremu zdarzyła się podobna historia – ale jego córka dostała czwórkę. Najwyraźniej ów pisarz, posiadacz doktoratu z literatury angielskiej, pisze dostatecznie dobrze dla „Rolling Stone”, „Esquire’a” i „New York Timesa”, ale nie dość dobrze dla nauczycielki angielskiego. Aleksy próbował mnie pocieszyć, przytaczając inną historię: dwóch jego kolegów oddało kiedyś identyczne, jednobrzmiące wypracowania. Myślał, że postępują głupio i zostaną obaj zawieszeni; przemęczona nauczycielka jednak nie tylko niczego nie zauważyła, ale oceniła jedno z wypracowań na 90 (piątka), drugie zaś na 79 (mocna trójka). (Brzmi niezbyt wiarygodnie, chyba że ktoś, jak ja, ma za sobą całe noce spędzane na poprawianiu prac uczniów i studentów, przy powtórkach Star Trek idących w tle dla przełamania monotonii).
Liczby zawsze wydają się świadectwem powagi i autorytetu. Myślimy, przynajmniej podświadomie, mniej więcej tak: skoro nauczyciel ocenia prace w skali od zera do 100, to jego drobne rozróżnienia muszą naprawdę coś oznaczać. Ale skoro dziesięciu wydawców mogło uznać, że rękopis pierwszego tomu przygód Harry’ego Pottera nie zasługuje na wydanie, to jak nieszczęsna pani Finnegan (to nie jest jej prawdziwe nazwisko) może rozpoznawać jakość wypracowań tak idealnie, żeby za jedno stawiać 92, a za drugie 93? Jeśli zgodzimy się, że jakość wypracowania można w ogóle zdefiniować, musimy też uznać, że ocena nie jest wiernym odbiciem tej jakości, tylko wynikiem jej pomiaru, a jednym z najważniejszych sposobów, w jakie doświadczamy efektów losowości, jest jej wpływ na wyniki pomiarów. W przypadku wypracowania urządzeniem pomiarowym jest nauczycielka; jej ocena, podobnie jak wynik każdego pomiaru, podlega losowym wahaniom i błędom.
Głosowanie też jest swego rodzaju pomiarem. W tym przypadku nie mierzymy wprost tego, ile osób popiera każdego z kandydatów w dniu wyborów, ale to, ilu wyborców sprawa obchodzi na tyle, że zadają sobie trud oddania głosu. Jest wiele źródeł losowych błędów tego pomiaru. Niektórzy uprawnieni do głosowania mogą w ostatniej chwili stwierdzić, że ich nazwiska nie ma na liście zarejestrowanych w danym okręgu. Inni przez pomyłkę głosują na innego kandydata, niż naprawdę zamierzali. Do tego dochodzą oczywiście błędy w liczeniu głosów. Niektóre głosy niesłusznie uznaje się za ważne (lub nieważne); czasem część głosów ginie. W większości wyborów suma wszystkich tych czynników nie jest wystarczająco duża, żeby wpłynąć na wynik. Czasem jednak jest to możliwe, gdy wyścig wyborczy jest wyrównany; uruchamia się wtedy zwykle procedurę ponownego przeliczania głosów, zupełnie jakby drugie lub trzecie ich przeliczenie było mniej narażone na przypadkowe błędy niż pierwsze.
Na przykład po wyborach gubernatora stanu Waszyngton w 2004 roku ogłoszono ostatecznie, że wygrał kandydat demokratów, choć pierwsze podliczenie głosów wskazywało, że zwyciężył kandydat republikanów, który zdobył o 261 głosów więcej. Wszystkich głosów było około 3 milionów. Ponieważ liczby głosów zdobytych przez obu kandydatów różniły się tak nieznacznie, prawo stanowe wymagało, żeby przeliczyć głosy powtórnie; wygrał znów kandydat republikanów, choć tym razem tylko 42 głosami. Nie wiadomo, czy ktokolwiek pomyślał, że to zły znak, że różnica 219 głosów między wynikami pierwszego i drugiego liczenia była kilkakrotnie większa niż nowy margines zwycięstwa, ale tak czy inaczej zarządzono przeliczanie głosów po raz trzeci, tym razem całkowicie „ręcznie”. Zwycięstwo 42 głosami sprowadzało się do przewagi zaledwie 1 głosu na każde 70 000, zatem wysiłek ręcznego liczenia można porównać do tego, że prosimy 42 osoby, aby policzyły od 1 do 70 000 i mamy nadzieję, że średnia liczba popełnionych pomyłek będzie mniejsza niż jedna na osobę. Nic dziwnego, że wynik znów się zmienił. Tym razem kandydat demokratów miał o 10 głosów więcej. Później, gdy nagle odnalazło się 700 „zagubionych głosów”, ogłoszono, że różnica wzrosła do 129 głosów.
Ani proces liczenia głosów, ani proces głosowania nie jest doskonały. Jeśli na przykład z uwagi na błędy poczty 1 na 100 wyborców nie otrzyma koperty z adresem komisji wyborczej, a następnie jeden z każdych 100 takich wyborców rzeczywiście z tego powodu nie zagłosuje, to w skali stanu Waszyngton mamy już mniej więcej 300 wyborców, którzy w innych warunkach głosowaliby, ale nie zrobili tego z powodu pomyłki władz. Wybory, jak wszelkie pomiary, są niedokładne; podobnie jest z ponownym liczeniem głosów, więc gdy dwaj kandydaci uzyskują niemal idealnie równe liczby głosów, powinniśmy może po prostu zaakceptować taki wynik albo rzucić monetą, zamiast zarządzać przeliczanie głosów od nowa.
Niedokładność pomiarów stała się ważną kwestią w połowie XVIII wieku, gdy jednym z najważniejszych zajęć osób, zajmujących się mechaniką niebios i matematyką, był problem, jak pogodzić prawa Newtona z obserwowanymi ruchami Księżyca i planet. Jednym ze sposobów, które pozwalają otrzymać z wielu niezgodnych pomiarów jedną liczbę, jest obliczenie średniej. Wydaje się, że to właśnie młody Isaac Newton jako pierwszy skorzystał z tej metody w swoich badaniach optycznych. Newton jednak pod wieloma względami był wybrykiem natury. Uczeni w jego czasach i w następnym wieku zwykle wcale nie obliczali średniej, tylko wybierali z listy swoich pomiarów jedną, „złotą” liczbę – liczbę, którą, kierując się głównie wyczuciem, uznawali za najbardziej wiarygodny wynik. Robili tak dlatego, że uważali, iż zmienność wyników pomiaru nie jest nieuniknionym produktem ubocznym procesu mierzenia, tylko dowodem porażki, mającym czasami nawet konsekwencje moralne. W istocie, rzadko publikowano wartości różnych pomiarów tej samej wielkości, gdyż uznawano, że byłoby to przyznanie się do fuszerki, podważające zaufanie do wyników badań. Niemniej, w połowie XVIII wieku nastroje zaczęły się zmieniać. Orbity ciał niebieskich są w zgrubnym przybliżeniu niemal kolistymi elipsami; ich wyznaczenie jest prostym zadaniem, które dziś mogą wykonywać przedwcześnie rozwinięci uczniowie szkół średnich, gdy w słuchawkach na uszach rozbrzmiewa im głośna muzyka. Jednak dokładniejszy i subtelniejszy opis ruchów planet, taki, który uwzględniałby nie tylko przyciąganie grawitacyjne Słońca, lecz także wzajemne przyciąganie różnych planet oraz odchylenia kształtów planet i Księżyca od idealnej kuli, jest nawet obecnie trudnym zadaniem. Aby zrealizować taki cel, trzeba łączyć skomplikowane metody matematycznych przybliżeń z niedoskonałymi wynikami obserwacji i pomiarów.
Pod koniec XVIII wieku matematyczna teoria pomiarów była potrzebna także z innego powodu: w latach osiemdziesiątych XVIII wieku, początkowo we Francji, rozwinął się nowy sposób ścisłego uprawiania fizyki doświadczalnej. Wcześniej na fizykę składały się dwie różne tradycje badań. Z jednej strony, uczeni zajmujący się matematyką rozważali teoretyczne konsekwencje newtonowskich praw ruchu i grawitacji. Z drugiej strony, grupa, którą opisywano czasem jako filozofów doświadczalnych, zajmowała się badaniem elektryczności, magnetyzmu, światła i ciepła. Filozofowie doświadczalni, często amatorzy, w mniejszym stopniu skupiali się na ścisłej metodologii badań naukowych niż uczeni o bardziej matematycznym nastawieniu; dlatego narodził się ruch, mający na celu reformę i zmatematyzowanie fizyki doświadczalnej. Pierre Simon de Laplace odegrał w nim ważną rolę. (…)