Strona główna / Popularnonaukowe / Jak pokroić tort i inne zagadki matematyczne

Aktualności

28.05.2016

Relacja z Warszawskich Targów Książki

Wywiady

09.05.2016

"Koran mam w małym paluszku"

Zapraszamy do przeczytania wywiadu z Tanyą Valko.

Posłuchaj i zobacz

03.03.2016

Jak wysoko sięga miłość - spotkanie autorskie

Spotkanie z autorkami "Jak wysoko sięga miłość".

Bestsellery

TOP 20

  1. Masa o kilerach polskiej mafii. Jarosław Sokołowski "Masa" w rozmowie z Arturem Górskim Artur Górski
  2. Nienachalna z urody Maria Czubaszek
  3. Pasterska korona Terry Pratchett

Fotogaleria

więcej »

Jak pokroić tort i inne zagadki matematyczne

Ian Stewart

Wstęp

Czasami, kiedy czuję się wyjątkowo zrelaksowany i zaczynam błądzić gdzieś myślami, zastanawiam się, jak wyglądałby świat, gdyby wszyscy lubili matematykę tak bardzo jak ja. W wiadomościach telewizyjnych na pierwszym miejscu pojawiałyby się najnowsze twierdzenia z topologii algebraicznej zamiast żałosnych skandali politycznych, nastolatki ściągałyby sobie na iPody matematyczną listę przebojów, a piosenkarze calypso (pamiętacie takich?) przygrywaliby na gitarach w rytm melodii „Lemat trzeci…” Co mi przypomina, że muzyk folkowy Stan Kelly (dziś Stan Kelly-Bootle, sprawdźcie go sobie w Google’u) faktycznie napisał taką piosenkę, pod koniec lat sześćdziesiątych, kiedy studiował matematykę na Uniwersytecie Warwick. Zaczynała się tak:

„Lemat trzeci, bardzo piękny, i odwrotność piękna też,
Lecz wie tylko Bóg i Fermat, które z nich prawdziwe jest”.

W każdym razie ja zawsze traktowałem matematykę jako źródło inspiracji i przyjemności. Zdaję sobie sprawę, że u większości ludzi budzi ona grozę, nie radość, ale nie potrafię podzielać tego poglądu. Na poziomie racjonalnym rozumiem niektóre z powodów powszechnego strachu przed matematyką: nie ma nic gorszego niż przedmiot, który bezwzględnie wymaga dokładności i precyzji, kiedy masz nadzieję wywinąć się paroma zgrabnymi słówkami i sporą dozą tupetu. Ale na poziomie emocjonalnym trudno mi zrozumieć, jak to możliwe, aby dyscyplina mająca tak istotne znaczenie dla świata, w którym żyjemy, z tak długą i pasjonującą historią, pełna najbardziej błyskotliwych odkryć, jakich udało się dokonać człowiekowi, nie intrygowała i nie fascynowała.
Z drugiej strony ornitologom amatorom także trudno jest zrozumieć, dlaczego reszta ludzkości nie podziela pasji, z jaką odhaczają pozycje na listach. „Mój Boże, czy to upierzenie godowe głuptaka czubatego? Ostatniego osobnika odnotowanego w Wielkiej Brytanii widziano na wyspie Skye w 1843 roku, w dodatku był częściowo schowany za… o, nie, to tylko szpak z ubłoconym ogonem”. Nie chcę tu nikogo urazić – sam zbieram skały. „O rany! Prawdziwy granit asuański!” Nasz dom zapełnia się powoli kawałkami planety.
Nie pomaga też zapewne to, że pod słowem „matematyka” większość ludzi rozumie zwykłą arytmetykę, która może być fajna, na swój specyficzny sposób, jeśli sobie z nią dobrze radzisz. Jeśli nie, jest straszna. Poza tym bardzo trudno czerpać z czegoś przyjemność – czy to z obserwacji ptaków, czy z matematyki – jeśli ktoś stoi nad tobą z długopisem w dłoni, tylko czekając, aż zrobisz jakiś drobny błąd, na który natychmiast się rzuci, żeby zabazgrać go na czerwono. (To przenośnia, chociaż kiedyś tak było, w sensie dosłownym). A przecież co znaczy jedno czy dwa miejsca po przecinku między przyjaciółmi? Ale gdzieś pomiędzy programem nauczania a tym, co zrozumie z niego młody Jaś, znaczna część związanej z matematyką zabawy i przyjemności wyparowała. A szkoda.
Nie twierdzę, że książka „Jak pokroić tort” będzie miała zasadniczy wpływ na matematyczne zdolności ogółu społeczeństwa, chociaż sądzę, że mogłoby się tak stać. (Czy byłby to wpływ pozytywny, to już inna sprawa). Staram się tutaj przede wszystkim głosić słowo do tych już nawróconych. To książka dla fanów, entuzjastów, dla ludzi, którzy naprawdę lubią matematykę i mają na tyle młody umysł, że potrafią czerpać mnóstwo przyjemności z zabaw i gier. Tę frywolną atmosferę podkreślają cudowne rysunki Spike’a Gerrella, które doskonale oddają ducha przedstawianych tutaj wywodów.
Moje intencje są jednak śmiertelnie poważne.
Chciałem zatytułować tę książkę „Weapons of Math Distraction” (Broń matematycznego rażenia ), co w moim odczuciu odzwierciedlało połączenie powagi i frywolności, więc pewnie powinienem być wdzięczny działowi marketingu za weto. Ale z tym praktycznym, „cukierniczym” tytułem, na który się zdecydowaliśmy, wiąże się pewne niebezpieczeństwo: niektórzy z was mogą myśleć o kupieniu tej książki w celu uzyskania poważnych porad kulinarnych. Stąd sprostowanie: to książka o zagadkach i grach matematycznych, nie o wypiekach. Tort to w istocie przestrzeń z miarą borelowską.
Ukryta głęboko pod postacią… tortu właśnie. A matematyka uczy nas nie jak go upiec, ale jak go równo podzielić między dowolną liczbę osób. W dodatku – co o wiele trudniejsze – bez powodowania zazdrości. Krojenie tortu stanowi proste wprowadzenie do matematycznych teorii podziału zasobów. Specjaliści nazywają wstępne rozważania tego typu „modelem zabawkowym”, drastycznie uproszczonym w stosunku do tego, co można spotkać w rzeczywistości. Ale skłania on do zastanowienia się nad pewnymi istotnymi kwestiami. Na przykład pokazuje, że łatwiej jest podzielić zasoby między kilka rywalizujących ze sobą grup w sposób, jaki wszystkie uznają za sprawiedliwy, jeśli każda grupa przypisuje tym zasobom inną wartość.
Podobnie jak jego poprzednicy, „Game”,” Set and Math”, „Another Fine Math You’ve Got Me Into” oraz „Histerie matematyczne” (wydane, tak jak ta książka, przez Oxford University Press), niniejszy tom powstał na podstawie serii felietonów o łamigłówkach matematycznych, które napisałem dla „Scientific American” i obcojęzycznych wersji tego czasopisma w latach 1987–2001. Felietony lekko przeredagowano, wszystkie dostrzeżone błędy poprawiono, wprowadzono nieznaną liczbę nowych błędów, a także dodano w odpowiednich miejscach komentarze czytelników, pod nagłówkiem „Uwagi”. Przywróciłem część materiałów, która nie ukazała się na łamach magazynów ze względu na ograniczoną ilość miejsca, więc można powiedzieć, że jest to swego rodzaju „wersja reżyserska”. Książka obejmuje różnorodne tematy, od teorii grafów do rachunku prawdopodobieństwa, od logiki do powierzchni minimalnych, od topologii do kwazikryształów. I dzielenia tortu, oczywiście. Zostały wybrane głównie ze względu na wartość rozrywkową, nie wagę naukową, proszę więc nie wyobrażać sobie, że treść w pełni oddaje obecny stan wiedzy w zakresie pionierskich matematycznych badań.
Z pewnością jednak go odzwierciedla. Paląca kwestia krojenia tortu to część długiej tradycji w matematyce – sięgającej co najmniej 3500 lat wstecz, do starożytnego Babilonu – stawiania poważnych pytań w niepoważny sposób. Kiedy więc czytasz, tak jak tutaj, o tym, „dlaczego kable telefoniczne się plączą”, ten temat przyda się nie tylko do uporządkowania gmatwaniny przewodów, jaka zazwyczaj łączy telefon ze słuchawką. Najbardziej interesujące zagadnienia w matematyce odznaczają się ciekawą uniwersalnością – okazuje się, że koncepcje wywodzące się z jakiegoś prostego problemu rzucają światło na wiele innych kwestii. W otaczającym nas świecie dużo różnych rzeczy skręca się i wije: kable telefoniczne, wąsy czepne roślin pnących, cząsteczki DNA, podwodne przewody telekomunikacyjne. Te cztery przykłady zastosowania matematyki opisującej skręty i zwoje znacznie się między sobą różnią pod wieloma istotnymi względami: okazałbyś zrozumiałe wzburzenie, gdyby inżynier telekomunikacji zabrał ci kabel od telefonu i zastąpił go kawałkiem powoju. Ale jednocześnie pod pewnym użytecznym względem te zagadnienia łączą się ze sobą: ten sam prosty model matematyczny rzuca światło na każde z nich. Może nie odpowie na wszystkie pytania, jakie chciałbyś zadać, i pominie pewne ważne kwestie praktyczne, ale kiedy uproszczony model otworzy drzwi do analizy matematycznej, wtedy na tej podstawie można tworzyć bardziej złożone, bardziej szczegółowe modele.
Moim celem jest tutaj połączenie abstrakcyjnego myślenia ze sprawami znanymi z codziennego życia, tak aby ta mieszanka doprowadziła do powstania nowych matematycznych koncepcji. Zysk, dla mnie, nie polega na otrzymaniu praktycznych rozwiązań rzeczywistych problemów. Głównym zyskiem jest nowa matematyka. Nie da się na kilku stronach opracować istotnego zastosowania matematyki, ale można, przy wystarczającej dozie wyobraźni, zrozumieć, jak matematyczna idea zaczerpnięta z jednego kontekstu może niespodziewanie znaleźć zastosowanie w innym. Być może najlepszym tego przykładem w mojej książce jest związek między zagadką zwaną Imperiami a obwodami elektronicznymi. Dziwna, wymyślna łamigłówka dotycząca kolorowania map terytoriów na Ziemi i Księżycu (rozdział 9) daje pewne praktyczne wskazówki, które przydają się w istotnej kwestii sprawdzania płytek obwodów drukowanych pod kątem wad (rozdział 10). Matematycy po raz pierwszy natknęli się na kluczową koncepcję w niepoważnym kontekście (chociaż nie aż tak frywolnym jak wersja tu przedstawiona) i dopiero wtedy okazało się, że ma ona całkiem poważne zastosowanie.
Może to działać także odwrotnie. Inspiracją do rozdziału 15. było niezwykłe zachowanie pewnego gatunku azjatyckich świetlików, którego samce synchronizują wysyłane przez siebie błyski – prawdopodobnie aby podnieść zbiorową zdolność wabienia samic, chociaż nie polepsza to zdolności indywidualnych. Jak dochodzi do synchronizacji świetlnych sygnałów? Tu najpierw pojawił się problem poważny, matematyka wzięła go na warsztat i rozwiązała przynajmniej częściowo, a dopiero później okazało się, że te same matematyczne operacje można wykorzystać w wielu innych kwestiach związanych z synchronizacją. W moim ujęciu cała sprawa zmienia się w grę planszową. Co ciekawe: kilka pozornie tylko prostych pytań dotyczących tej gry pozostaje bez odpowiedzi. W pewnym sensie rzeczywiste zastosowanie rozumiemy lepiej niż prosty model.
Każdy rozdział tworzy samodzielną całość – z nielicznymi wyjątkami. Możesz zacząć w dowolnym miejscu, a jeśli z jakiegoś powodu utkniesz, możesz porzucić dany rozdział i spróbować z innym. Lektura zaowocuje – śmiem twierdzić – lepszym zrozumieniem tego, jak wiele tematów obejmuje matematyka, jak daleko wykracza poza to, czego uczą nas w szkole, i jak zdumiewająco różnorodne ma zastosowania, a także odkryciem zaskakujących powiązań, spajających ten przedmiot w całość o niesamowitej sile oddziaływania. A wszystko to osiągniesz dzięki grom i rozwiązywaniu zagadek.
I, przede wszystkim, dzięki gimnastykowaniu umysłu.
Nigdy nie lekceważ potęgi zabawy.

Ian Stewart
Coventry, kwiecień 2006